Question

18．在锐角△ABC中，内角A，B，C分别对应的边是a，b，c．若b²-a²=ac，则$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$的取值范围是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 根据正弦定理化简已知式子，由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后，由内角的范围和正弦函数的性质求出A与B关系，由锐角三角形的条件求出B的范围，利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．

解答 解：∵b²-a²=ac，
∴由正弦定理得，sin²B-sin²A=sinAsinC，
由二倍角公式可知：$\frac{1-cos2B}{2}$-$\frac{1-cos2A}{2}$=sinAsinC，
∴$\frac{cos2A-cos2B}{2}$=sinAsinC，
和差化积公式得cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B），代入上式得，
-sin（A+B）sin（A-B）=sinAsinC，
∵sin（A+B）=sinC≠0，∴-sin（A-B）=sinA，即sin（B-A）=sinA，
在△ABC中，B-A=A，得B=2A，则C=π-3A，
∵△ABC为锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$=$\frac{cosAsinB-sinAcosB}{sinAsinB}$=$\frac{sin（B-A）}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinB}$，
$\frac{π}{3}$＜B＜$\frac{π}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sinB＜1，
1＜$\frac{1}{sinB}$＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$
1＜$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了正弦定理，三角恒等变换中公式，以及正弦函数的性质，涉及知识点多、公式多，综合性强，考查化简、变形能力，属于中档题．