已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$.且过点$$．若点M(x0.y0)在椭圆C上.则点$N({\frac{x 0}{a}.\frac{y 0}{b}})$称为点M的一个“椭点．(I)求椭圆C的标准方程,(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A.B两点.且A.B两点的“椭点分别为P.Q.以PQ为直径的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点$（{1，\frac{3}{2}}）$．若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点$N（{\frac{x_0}{a}，\frac{y_0}{b}}）$称为点M的一个“椭点”．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

分析（I）运用离心率公式和基本量a，b，c的关系，代入点$（{1，\frac{3}{2}}）$，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得${P}（{\frac{x_1}{2}，\frac{y_1}{{\sqrt{3}}}}），Q（{\frac{x_2}{2}，\frac{y_2}{{\sqrt{3}}}}）$，由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，运用数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用判别式大于0，韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理，即可得到定值．

解答解：（I）由题意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
即${a^2}=\frac{4}{3}{b^2}$ 又$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，
可得a²=4，b²=3，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${P}（{\frac{x_1}{2}，\frac{y_1}{{\sqrt{3}}}}），Q（{\frac{x_2}{2}，\frac{y_2}{{\sqrt{3}}}}）$，
由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{3}=0$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化为3+4k²-m²＞0．
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k²•$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
代入$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{3}=0$，即${y_1}{y_2}=-\frac{3}{4}{x_1}{x_2}$，
得：$\frac{{3（{m^2}-4{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}=-\frac{3}{4}•\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，2m²-4k²=3，$\left|{AB}\right|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}}}{{3+4{k^2}}}$，
O到直线l的距离为$d=\frac{\left|m\right|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
△ABO的面积为${S_△}=\frac{1}{2}\left|{AB}\right|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}}}{{3+4{k^2}}}\frac{\left|m\right|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}\left|m\right|}}{{3+4{k^2}}}$，
把2m²-4k²=3代入上式得${S_△}=\sqrt{3}$．