Question

4．（$\root{6}{2}$-$\frac{2}{x}$）⁷的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（　　）

• A． -156
• B． -128
• C． -28
• D． 128

Answer 1

分析 利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中系数为有理数的项，
再计算系数为有理数的各项系数和．

解答 解：（$\root{6}{2}$-$\frac{2}{x}$）⁷的展开式中，通项公式为
T_r+1=${C}_{7}^{r}$•${（\root{6}{2}）}^{7-r}$•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{7}^{r}$•${2}^{\frac{7+5r}{6}}$•x^-r；
令$\frac{7+5r}{6}$为整数，其中r=0，1，2，…，7；
由题意知，当r=1或r=7时，展开式中系数为有理数；
所以系数为有理数的各项系数之和为
-${C}_{7}^{1}$•2²-${C}_{7}^{7}$•2⁷=-28-128=-156．
故选：A．

点评 本题考查了二项式展开式的通项公式，以及项的系数为有理数的条件和应用问题，是基础题．