Question

13．在平面直角坐标系中，两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）间的“L-距离”定义为|P₁P₂|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．现将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合．记边AB所在直线的斜率为k，0≤k≤$\sqrt{3}$．求：当|BC|取最大值时，边AB所在直线的斜率的值．

Answer 1

分析 设边AB所在直线的倾斜角为θ，则$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]$，利用L-距离的定义，表示|BC|，结合辅助角公式，求出取最大值时，边AB所在直线的斜率的值．

解答 解：设边AB所在直线的倾斜角为θ，则$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]$
∴$B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+\frac{π}{3}），sin（θ+\frac{π}{3}））$…（2分）
∴|BC|=|cosθ-cos（θ+$\frac{π}{3}$）|+|sinθ-sin（θ+$\frac{π}{3}$）|
=$|{\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}|+|{\frac{1}{2}sinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ}|$
=$|{sin（θ+\frac{π}{6}）}|+|{cos（θ+\frac{π}{6}）}|$…（6分）
∵$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]∴θ+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，
∴|BC|=$|{sin（θ+\frac{π}{6}）}|+|{cos（θ+\frac{π}{6}）}|$=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{5π}{12}$）…（8分）
∵$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]∴θ+\frac{5π}{12}∈[{\frac{5π}{12}，\frac{3π}{4}}]$，
∴当θ+$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}$时，即θ=$\frac{π}{12}$时，|BC|取得最大值$\sqrt{2}$，…（10分）
此时$k=tanθ=tan\frac{π}{12}$，∵$tan\frac{π}{6}=\frac{{2tan\frac{π}{12}}}{{1-{{tan}^2}\frac{π}{12}}}$（或由$tan\frac{π}{12}=tan（\frac{π}{4}-\frac{π}{6}）$求k）∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{2k}{{1-{k^2}}}，解得k=2-\sqrt{3}或k=-2-\sqrt{3}（舍去）$，
∴$k=2-\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查新定义，考查直线斜率的计算，考查三角函数知识，考查学生的计算能力，属于中档题．