Question

已知圆的方程为，直线，设点．

（1）若点在圆外，试判断直线与圆的位置关系；

（2）若点在圆上，且，，过点作直线分别交圆于两点，且直线和的斜率互为相反数；

① 若直线过点，求的值；

② 试问：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

 

Answer 1

（1）直线与圆相交；

（2）①；②不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率总为定值

【解析】

试题分析：（1）先由点A在园外得出，再利用点到直线距离公式求出圆O圆心O到直线的距离与半径比较即可判定出直线与圆O的位置关系；（2）①由直线斜率公式求出直线AM的斜率，再由直线和的斜率互为相反数，知直线和的倾斜角互补，将角AMN用直线AM的倾斜角表示出来，利用诱导公式及二倍角公式即可求出；②设直线AM的斜率为k，写出直线AM方程，与圆O联立求出M点坐标，由题知AN的斜率为-k，同理求出M的坐标，利用斜率公式求出直线MN斜率，化简可知是否为定值.

试题解析：（1）当点在圆外时，得，即

∴ 圆心到直线的距离，

∴ 直线与圆相交． 5分

（2）①由点在圆上，且，，得，即．

记直线的倾斜角为，则， 7分

又∵ ， ∴ 直线的倾斜角为，

∴． 10分

②记直线的斜率为，则直线的方程为：．

将代入圆的方程得：，

化简得：，

∵ 是方程的一个根， ∴ ， ∴，

由题意知：，同理可得，， 13分

∴ ，

∴ ，

∴ 不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率总为定值． 16分

考点：点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；直线方程；直线的斜率公式；运算求解能力