Question

6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=2^x+1+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在所给的坐标系内画出函数f（x）的草图，并求方程f（x）=m恰有两个不同实根时的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质利用对称性进行转化求解即可．
（2）作出函数f（x）的图象，利用指数函数的性质，结合数形结合进行求解即可．

解答 解：（1）若x＞0，则-x＜0，
∵当x≤0时，f（x）=2^x+1+1．且f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=2^-x+1+1=f（x）．
即当x＞0时，f（x）=2^-x+1+1．
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x+1}+1，}&{x≤0}\\{{2}^{-x+1}+1，}&{x＞0}\end{array}\right.$
（2）作出函数f（x）的图象如图：
当x≤0时，f（x）=2^x+1+1∈（1，3]．
∴要使方程f（x）=m恰有两个不同实根，
则满足1＜m＜3．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数与方程的应用，根据函数奇偶性的对称性的性质进行转化求解是解决本题的关键．