Question

4．方程$\left\{{\begin{array}{l}x=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t+2cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{5}}}{5}t+\sqrt{3}sinθ\end{array}}$
（1）当t=0时，θ为参数，此时方程表示曲线C₁请把C₁的参数方程化为普通方程；
（2）当θ=$\frac{π}{3}$时，t为参数，此时方程表示曲线C₂请把C₂的参数方程化为普通方程；
（3）在（1）（2）的条件下，若P为曲线C₁上的动点，求点P到曲线C₂距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）（2）消去参数，可化参数方程为普通方程；
（3）由（1）（2）可知P到C₂的距离为$d=\frac{{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-4|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（θ+\frac{π}{6}）-4|}}{{\sqrt{5}}}$，即可得出结论．

解答 解：（1）当t=0时，原方程即为$\left\{{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}}\right.$，消参得${C_1}：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（3分）
（2）当$θ=\frac{π}{3}$．原方程即为$\left\{{\begin{array}{l}x=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t+1\\ y=\frac{{\sqrt{5}}}{5}t+\frac{3}{2}\end{array}}\right.$，消参得C₂：x+2y-4=0…（6分）
（3）由（1）（2）可知P到C₂的距离为$d=\frac{{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-4|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（θ+\frac{π}{6}）-4|}}{{\sqrt{5}}}$
当$sin（θ+\frac{π}{6}）=-1$时，${d_{max}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$…（10分）

点评 本题考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．