Question

12．已知函数f（x）=x²lnx-a（x²-1），a∈R，若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，1]
• D． $（-∞，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 由已知x≥1时，f（x）_min＞0，f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：由已知，即x≥1时，f（x）_min＞0，
f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，
当1-2a≥0，即a≤$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）单调增，
∴f（x）_min=f（1）=0，即a≤$\frac{1}{2}$时满足f（x）≥0恒成立；
当1-2a＜0，即a＞$\frac{1}{2}$时，由f′（x）=0，得x=${e}^{a-\frac{1}{2}}$＞1，
∴x∈（1，${e}^{a-\frac{1}{2}}$）时，f（x）单调减，即x∈（1，${e}^{a-\frac{1}{2}}$）时，
∴f（x）＜f（1）=0与题设矛盾，
即a＞$\frac{1}{2}$时，不能满足f（x）≥0恒成立，
综上，所求a的取值范围是a≤$\frac{1}{2}$；
故选：D．

点评 本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用．