Question

12．已知过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即$\frac{b}{a}$＜tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．

解答 解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即$\frac{b}{a}$＜tan45°=1，即b＜a，
∴$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＜a，
整理得c＜$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{2}$
∵双曲线中e＞1
∴e的范围是（1，$\sqrt{2}$）．
故选：B．

点评 本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．