Question

14．已知点$（\frac{5π}{12}，0）$是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx-$\frac{1}{2}$图象的一个对称中心．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在闭区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{a}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x，由对称性可得a值；
（2）由（1）化简解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得；
（3）由x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$可得2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，易得函数的最值．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=asinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
∵f（x）关于点$（\frac{5π}{12}，0）$对称，
∴$f（\frac{5π}{12}）=\frac{a}{2}sin\frac{5π}{6}+\frac{1}{2}cos\frac{5π}{6}=0$
解得$a=\sqrt{3}$；
（2）由（1）化简可得$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）；
（3）∵x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$即x=-$\frac{π}{6}$时，函数取最小值$f{（x）_{min}}=f（-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$时，函数取最大值$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{6}）=1$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的对称性和单调性以及最值，属中档题．