Question

19．已知函数y=f（x）（x∈R）图象过点（e，0），f'（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x＞0时，xf'（x）＜2恒成立，则不等式f（x）+2≥2lnx解集为（0，e]．

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=f（x）+2-2lnx，x＞0，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数单调性将不等式进行转化求解即可．

解答 解：由f（x）+2≥2lnx得f（x）+2-2lnx≥0，
设g（x）=f（x）+2-2lnx，x＞0，
则g′（x）=f′（x）-$\frac{2}{x}$=$\frac{xf′（x）-2}{x}$，
∵x＞0时，xf'（x）＜2恒成立，
∴此时g′（x）=$\frac{xf′（x）-2}{x}$＜0．
即此时函数g（x）为减函数，
∵y=f（x）（x∈R）图象过点（e，0），
∴f（e）=0，
则g（e）=f（e）+2-2lne=2-2=0，
则f（x）+2-2lnx≥0，等价为g（x）≥0，
即g（x）≥g（e），
∵函数g（x）在（0，+∞）为减函数，
∴0＜x≤e，
即不等式f（x）+2≥2lnx解集为（0，e]，
故答案为：（0，e]

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数求函数的导数，利用函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．