Question

13．求（1+x²+x⁴）（1+x+x²）⁵展开式中x⁸项的系数．

Answer 1

分析 （1+x²+x⁴）（1+x+x²）⁵=（1-x+x²）（1+x+x²）⁶，设（1+x+x²）⁶的通项公式为T_r+1=${∁}_{6}^{r}$（x+x²）^r（r=0，1，2，…，6）．设（x+x²）^r的通项公式${T}_{k+1}^{′}$=${∁}_{r}^{k}{x}^{r-k}{x}^{2k}$=${∁}_{r}^{k}$x^r+k．（k=0，1，2，…，r）．对r，k分类讨论即可得出．

解答 解：（1+x²+x⁴）（1+x+x²）⁵=（1-x+x²）（1+x+x²）⁶，
设（1+x+x²）⁶的通项公式为T_r+1=${∁}_{6}^{r}$（x+x²）^r（r=0，1，2，…，6）．
设（x+x²）^r的通项公式${T}_{k+1}^{′}$=${∁}_{r}^{k}{x}^{r-k}{x}^{2k}$=${∁}_{r}^{k}$x^r+k．（k=0，1，2，…，r）．
可得：（1+x²+x⁴）（1+x+x²）⁵展开式中x⁸项的系数为：${∁}_{6}^{3}{∁}_{3}^{3}$+${∁}_{6}^{4}（{∁}_{4}^{2}-{∁}_{4}^{3}+{∁}_{4}^{4}）$+${∁}_{6}^{5}$$（{∁}_{5}^{1}-{∁}_{5}^{2}+{∁}_{5}^{3}）$+${∁}_{6}^{6}（{∁}_{6}^{0}-{∁}_{6}^{1}+{∁}_{6}^{2}）$
=20+45+30+12
=107．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．