Question

19．已知：在数列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，判断{a_n}的单调性．
小明同学给出了如下解答思路，请补全解答过程．
第一步，计算：
根据已知条件，计算出：a₂=$\frac{1}{4}$，a₃=$\frac{1}{7}$，a₄=$\frac{1}{10}$．
第二步，猜想：
数列{a_n}是递减（填递增、递减）数列．
第三步，证明：
因为${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，所以$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{3{a_n}+1}}{a_n}=\frac{1}{a_n}+$3．
因此可以判断数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是首项$\frac{1}{a_1}$=1，公差d=3的等差数列．
故数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的通项公式为3n-2．
且由此可以判断出：
数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是递增（填递增、递减）数列，且各项均为正数（填正数、负数或零）．
所以数列{a_n}是递减（填递增、递减）数列．

Answer 1

分析 代值计算求出a₂，a₃，a₄，再求出数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的通项公式，再去判断增减性．

解答 解：第一步，计算：
根据已知条件，由于a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，
则a₂=$\frac{{a}_{1}}{3{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{4}$，a₃=$\frac{{a}_{2}}{3{a}_{2}+1}$=$\frac{1}{7}$，a₄=$\frac{1}{10}$，
第二步，猜想：
数列{a_n}是递减数列，
第三步，证明：
因为${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，所以$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{3{a_n}+1}}{a_n}=\frac{1}{a_n}+$ 3．
因此可以判断数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是首项$\frac{1}{a_1}$=1，公差d=3的等差数列．
故数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的通项公式为$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2．
且由此可以判断出：
数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是递增数列，且各项均为正数．
所以数列{a_n}是递减数列，
故答案为：$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{10}$，递减，3，1，3，3n-2，递增，正数，递减

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的单调性、查了推理能力与计算能力，属于中档题