Question

7．长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如表：

甲班	10	12	15	18	24	36
乙班	12	16	22	26	28	38

如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．
（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；
（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）确定为独立重复试验类型即可求解概率P（A）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$；
（2）确定随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4．利用排列组合知识求解相应的概率类型，得出分布列，可求数学期望．

解答 解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A，则P（A）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$  …（3分）
（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{101}{225}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$   …（8分）

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{6}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{101}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{6}{225}$

∴E（X）=$\frac{56}{225}$+2×$\frac{101}{225}$+3×$\frac{56}{225}$+4×$\frac{6}{225}$=2．
答：数学期望为2 …（10分）

点评 本题综合考察了离散型的概率分布列，数学期望，考察了学生的实际问题的分析能力，计算能力，属于中档题．