题目内容
定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(| x+y |
| 1+xy |
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若f(
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分析：（1）判断函数f（x）的奇偶性：①判断函数定义域是否关于原点对称，②判断f（-x）与f（x）的关系．
（2）证明函数f（x）的单调性，利用定义，分五步①设元，②作差，③变形，④判号，⑤下结论．
（3）利用题中所给的等式，把要求的已知的相结合，逐步求出要求的值．
（2）证明函数f（x）的单调性，利用定义，分五步①设元，②作差，③变形，④判号，⑤下结论．
（3）利用题中所给的等式，把要求的已知的相结合，逐步求出要求的值．
解答：解：（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(
)
而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴
＞0，
又因为1-x2＞0，1+x1＞0
∴（1-x2）（1+x1）=1-x1x2-x2+x1＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴
＜1
∴0＜
＜1，
所以f(
)＞0．即当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于f(
)-f(
)=f(
)即f(
)=f(
)+f(
)
∵f(
)+f(
)=f(
)即-f(
)=f(
)-f(
)
∵f(
)+f(
)=f(
)即-2f(
)=2f(
)-2f(
)
又∵f(
)+f(
)+f(
)=f(
)+f(
)=f(
)
∴f(
)-f(
)-2f(
)=f(
)+f(
)+f(
)-f(
)+2f(
)-2f(
)
∴f(
)-f(
)-2f(
)=4f(
)=
（14分）
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(
| x2-x1 |
| 1-x1x2 |
而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴
| x2-x1 |
| 1-x1x2 |
又因为1-x2＞0，1+x1＞0
∴（1-x2）（1+x1）=1-x1x2-x2+x1＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴
| x2-x1 |
| 1-x1x2 |
∴0＜
| x2-x1 |
| 1-x1x2 |
所以f(
| x2-x1 |
| 1-x1x2 |
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于f(
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∵f(
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∵f(
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又∵f(
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∴f(
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∴f(
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点评：本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性，与具体函数的证明方法相同，做题一定要抓牢定义，特别是证明题，一切方法源根本．
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