Question

10．已知向量$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，2），$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$cosα，$\sqrt{3}$sinα），则$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]
• B． [0，$\frac{π}{3}$]
• C． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
• D． [$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]

Answer 1

分析 计算向量$\overrightarrow{CA}$的模长，得到点A在以C（0，2）为圆心，$\sqrt{3}$为半径的圆上，利用数形结合，由图来分析其夹角的最大值、最小值点，结合解三角形的有关知识进而得到答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，2），$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$cosα，$\sqrt{3}$sinα），
∴|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{3cos^2α+3sin^2α}$=$\sqrt{3}$，
A的轨迹是以C（2，0）为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆
在△COD中，OC=2，CD=$\sqrt{3}$，∠CDO=$\frac{π}{2}$，所以∠COD=$\frac{π}{3}$，
所以当A在D处时，则 $\overrightarrow{OA}$与 $\overrightarrow{OB}$夹角最小为 $\frac{π}{2}-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}$，
当A在E处时 $\overrightarrow{OA}$与 $\overrightarrow{OB}$夹角最大为 $\frac{π}{2}+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}$，
∴$\overrightarrow{OA}$与 $\overrightarrow{OB}$夹角的取值范围是[$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，
故选：D．

点评 本题考查向量的坐标运算及向量的数量积与夹角的计算，根据条件利用向量模长的几何意义，转化为数形结合是解决本题的关键．