Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$与抛物线y²=2px（p＞0）有公共焦点F且交于A，B两点，若直线AB过焦点F，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得 $\frac{p}{2}$=c，经过利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立方程关系即可求出双曲线的离心率．

解答 解：∵抛物线y²=2px（p＞0）和双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$有共同的焦点，
∴$\frac{p}{2}$=c，
∵直线AB过两曲线的公共焦点F，
∴（$\frac{p}{2}$，p），即（c，2c）为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$上的一个点，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴（c²-a²）c²-4a²c²=a²（c²-a²），
∴e⁴-6e²+1=0，
∴e²=3±2$\sqrt{2}$，
∵e＞1，
∴e=1+$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查抛物线与双曲线的综合，考查抛物线与双曲线的几何性质，确定几何量之间的关系是关键．综合性较强，考查学生的计算能力．