Question

19．已知条件p：A={x|x²+ax+1≤0}，条件q：B={x|x²-3x+2≤0}，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 解不等式x²-3x+2≤0，得到方程x²+ax+1=0的两根在区间[1，2]外，建立关于a的不等式组解之可得．

解答 解：解不等式可得B={x∈R|x²-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，
∵q是p的充分不必要条件，
∴q⇒p，p不能推出q，即B是A的真子集，
可知方程x²+ax+1=0的两根在区间[1，2]外，
解方程得：x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}＜1}\\{\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}＞2}\end{array}\right.$，解得：a＜-$\frac{5}{2}$，
a=-$\frac{5}{2}$时，也符合题意，
故$a≤-\frac{5}{2}$．

点评 本题考查充要条件的判断与利用，得出方程x²+ax+1=0的两根在区间[1，2]外是解决问题的关键，属基础题．