Question

若实数a，b，c成等差数列，点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，点N（3，3），则|MN|的最大值是（　　）

• A、5+

  2

• B、5-

  2

• C、5+2

  2

• D、5-2

  2

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由a，b，c成等差数列得到a-2b+c=0，说明动直线ax+by+c=0恒过定点Q（1，-2），再由点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，可知M在以PQ为直径的圆上，求出圆的圆心坐标和圆的半径，再由两点间的距离公式求出圆心到N点的距离，则|MN|的最大值为圆心到N点的距离加半径．

解答：解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得方程ax+by+c=0恒过Q（1，-2），

又点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，
∴∠PMQ=90°，
∴M在以PQ为直径的圆上，
∴由中点坐标公式求得圆的圆心C坐标为（0，-1），
半径r=

1

2

|PQ|=

1

2

(1+1)2+(-2-0)2

=

2

，
又N（3，3），
∴|CN|=

(3-0)2+(3+1)2

=5，
则|MN|的最大值是5+

2

．
故选：A．

点评：本题考查了等差数列的性质，训练了直线系方程的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．