Question

1．如图，已知F₁，F₂是双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上下焦点，过F₂点作以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF₂被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 连接PF₁，设PF₂的中点为M，由相切可得PF₁⊥PF₂，运用勾股定理可得|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，运用中位线定理可得P到渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，由点到直线的距离公式和双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：连接PF₁，设PF₂的中点为M，
由题意可得PF₁⊥PF₂，
|PF₁|=c，|F₁F₂|=2c，
可得|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，
即有P到渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由OM为中位线可得，
可得F₁（0，-c）到渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由双曲线的渐近线方程y=$\frac{a}{b}$x，
可得d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
化为3c²=4b²，
又b²=c²-a²，
可得c=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．