Question

6．已知直线l：x+$\sqrt{2}y=4\sqrt{2}$与椭圆C：mx²+ny²=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点$M[{2\sqrt{2}，2}]$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，动点Q满足QB⊥AB，连接AQ交椭圆于点P，求$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OP}$的值．

Answer 1

分析 （1）直线方程与椭圆方程联立，利用判别式为0，椭圆经过当点，联立求出m，n即可得到椭圆方程．
（2）设Q（4，y₀），P（x₁，y₁），又A（-4，0），B（4，0），求出直线AQ的方程为$y=\frac{y_0}{8}（x+4）$．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及心理的数量积回家求解即可．

解答 解：（1）直线l：x+$\sqrt{2}y=4\sqrt{2}$代入椭圆C：mx²+ny²=1（n＞m＞0）可得：（n+2m）y²-16my+32m-1=0，
有且只有一个公共点$M[{2\sqrt{2}，2}]$．△=16²m²-4（n+2m）（32m-1）=0，
并且：8m+4n=1，解得m=$\frac{1}{16}$，n=$\frac{1}{8}$．
椭圆C的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）设Q（4，y₀），P（x₁，y₁），又A（-4，0），B（4，0），∴$\overrightarrow{OP}=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow{OQ}=（4，{y_0}）$．
直线AQ的方程为$y=\frac{y_0}{8}（x+4）$．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1}\\{y=\frac{y_0}{8}（x+4）}\end{array}}\right.⇒（32+{y_0}^2）{x^2}+8{y_0}^2•x+16{y_0}^2-32×16=0$．
∴$（-4）+{x_1}=-\frac{{8{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}⇒{x_1}=4-\frac{{8{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}$．
$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OP}=4{x_1}+{y_0}{y_1}$=$4{x_1}+{y_0}•\frac{y_0}{8}（x+4）$=$4（{4-\frac{{8{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}}）+\frac{{{y_0}^2}}{8}（{8-\frac{{8{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}}）$
=$16-\frac{{32{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}+{y_0}^2-\frac{{{y_0}^4}}{{32+{y_0}^2}}=16$．

点评 本题考查向量与椭圆的关系，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想设而不求思想方法的应用，考查计算能力．