Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，且an=7Sn-1+2(n≥2，n∈N*)，a1=2
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设bn=

1

log2an•log2an+1

，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m的值．

Answer 1

分析：（1）由an=7Sn-1+2(n≥2，n∈N*)，a1=2，及a_n+1=7S_n+2．可得a_n+1-a_n=7a_n，化为a_n+1=8a_n．利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”可得T_n．而Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立?[

20

3

(1-

1

3n+1

)]max＜m，利用数列的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵an=7Sn-1+2(n≥2，n∈N*)，a1=2，∴a_n+1=7S_n+2．
∴a_n+1-a_n=7a_n，化为a_n+1=8a_n．
又a₂=7a₁+2=16，∴a₂=8a₁．
∴数列{a_n}为等比数列，首项为2，公比为8．
∴an=2×8n-1=23n-2．
（2）由（1）可得log₂a_n=log223n-2=3n-2，
∴bn=

1

log2an•log2an+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)．
∴T_n=

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)]
=

1

3

(1-

1

3n+1

)
又Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立?[

20

3

(1-

1

3n+1

)]max＜m，
∴m≥

20

3

．
∴使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m的值为7．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算法则、“裂项求和”、恒成立问题的等价转化、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．