Question

16．已知{ a_n}是公差不为零的等差数列，且其前4项和为10，且a₁，a₃，a₉成等比数列，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式； 
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁，a₃，a₉成等比数列，（a₁+2d）²=a₁•（a₁+8d），求得d=a₁，由S₄=4a₁+6d=10，即可求得a₁=1，d=1，数列{a_n}的通项公式a_n=n； 
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（I）设等差数列{ a_n}是公差为d，
∵a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴a₃²=a₁•a₉，
∴（a₁+2d）²=a₁•（a₁+8d），
整理得：d=a₁，①
由S₄=4a₁+6d=10，②
解得：a₁=1，d=1，
由等差数列的通项公式可知：a_n=1+（n-1）=n，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n； 
（Ⅱ）由（1）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和S_n，S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式及性质，考查“裂项法”求数列通项公式，考查计算能力，属于中档题．