题目内容

12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点A，B，C，D在球O上，球O与BA1的另一交点为E，与CD1的另一个交点为F，且AE⊥BA1，则球O的体积为（　　）
A．$\frac{\sqrt{2}}{3}$πB．$\frac{2\sqrt{2}}{3}$πC．$\frac{4\sqrt{2}}{3}$πD．$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π

分析 设与CD1的另一个交点为F，连结EF，DF，得BCEF是矩形，则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，求出球O的半径，即可求出球O体积．

解答 解：设与CD1的另一个交点为F，连结EF，DF，得BCEF是矩形，
则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AE⊥BA1，
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，
∴球O的半径R=$\sqrt{2}$，
∴球O体积为：$\frac{4}{3}$πR3=$\frac{4}{3}$π•（$\sqrt{2}$）3=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
故选：D．

点评 本题主要考查球的体积公式，以及球内接三棱柱的关系，考查空间想象能力以及计算能力．

练习册系列答案
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