Question

20．已知函数f（x）=x-（$\frac{2}{3}$cosx-a）sinx，a∈R．
（1）求曲线y=f（x）在点（$\frac{π}{2}$，f（$\frac{π}{2}$））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）函数f（x）在R上单调递增，可得f′（x）≥0在R上恒成立，即-$\frac{4}{3}$cos²x+acosx+$\frac{5}{3}$≥0在R上恒成立，令cosx=t（-1≤t≤1），可得4t²-3at-5≤0在-1≤t≤1上恒成立，可令g（t）=4t²-3at-5，由g（-1）≤0且g（1）≤0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x-（$\frac{2}{3}$cosx-a）sinx的导数为：
f′（x）=1-cosx（$\frac{2}{3}$cosx-a）-sinx（-$\frac{2}{3}$sinx）=1-$\frac{2}{3}$cos²x+$\frac{2}{3}$sin²x+acosx，
曲线y=f（x）在点（$\frac{π}{2}$，f（$\frac{π}{2}$））处的切线斜率为1-0+$\frac{2}{3}$+0=$\frac{5}{3}$，
切点为（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$+a），
可得切线的方程为y-$\frac{π}{2}$-a=$\frac{5}{3}$（x-$\frac{π}{2}$），
即为5x-3y+3a-π=0；
（2）函数f（x）在R上单调递增，
可得f′（x）≥0在R上恒成立，
即-$\frac{4}{3}$cos²x+acosx+$\frac{5}{3}$≥0在R上恒成立，
令cosx=t（-1≤t≤1），可得4t²-3at-5≤0在-1≤t≤1上恒成立，
可令g（t）=4t²-3at-5，
可得g（-1）=4+3a-5≤0且g（1）=4-3a-5≤0，
解得-$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{1}{3}$，
即有a的取值范围是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立思想的运用，以及二次不等式恒成立的解法，考查运算能力，属于中档题．