Question

18．设f（x）=|ax-1|．
（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[-6，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）-f（x-1）≤7-3m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论a的符号，求出a的值即可；
（Ⅱ）令h（x）=f（2x+1）-f（x-1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）显然a≠0，…（1分）
当a＞0时，解集为$[-\frac{1}{a}，\frac{3}{a}]$，$-\frac{1}{a}=-6，\frac{3}{a}=2$，无解；…（3分）
当a＜0时，解集为$[\frac{3}{a}，-\frac{1}{a}]$，
令$-\frac{1}{a}=2，\frac{3}{a}=-6$，$a=-\frac{1}{2}$，
综上所述，$a=-\frac{1}{2}$．…（5分）
（Ⅱ） 当a=2时，
令h（x）=f（2x+1）-f（x-1）
=|4x+1|-|2x-3|
=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-4，x≤-\frac{1}{4}}\\{6x-2，-\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{2}}\\{2x+4，x≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
…（7分）
由此可知，h（x）在$（-∞，-\frac{1}{4}）$单调减，在$（-\frac{1}{4}，\frac{3}{2}）$单调增，在$（\frac{3}{2}，+∞）$单调增，
则当$x=-\frac{1}{4}$时，h（x）取到最小值  $-\frac{7}{2}$，…（8分）
由题意知，$-\frac{7}{2}≤7-3m$，则实数m的取值范围是$（{-∞，\frac{7}{2}}]$…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数以及分类讨论思想，是一道中档题．