Question

已知定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）函数满足：①f（4）=1；②对任意x＞2均有f（x）＞0；③对任意x＞1，y＞1，均有f（x）+f（y）=f（xy-x-y+2）．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）上为增函数；
（Ⅲ）是否存在实数k，使得f（sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈[0，π]恒成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）将条件③变形得到f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，其中m=x-1，n=y-1，令m=n=1，即可解得f（2）=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）变形得f（mn+1）-f（n+1）=f（m+1），则要证明f（x）在（1，+∞）上为增函数，只需m＞1即可．显然当m＞1即m+1＞2时f（m+1）＞0；
（Ⅲ）利用条件①②将问题转化为是否存在实数k使得sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k＜-

10

9

或1＜sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k＜10对任意的θ∈[0，π]恒成立．再令t=sinθ+cosθ，t∈[-1，

2

]，则问题等价于t²-（k-4）t+k-1＜-

10

9

或1＜t²-（k-4）t+k-1＜10对t∈[-1，

2

]恒成立．分情况讨论，利用二次函数的性质即可解题．

解答： 解：（Ⅰ）由条件③可知f（x）+f（y）=f（xy-x-y+2）
=f[x（y-1）+（1-y）+1]
=f[（y-1）（x-1）+1]，
令m=x-1，n=y-1，
则由x＞1，y＞1知m，n＞0，
并且f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立．
令m=n=1，即有f（2）+f（2）=f（2），
故得f（2）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）变形得：
f（mn+1）-f（n+1）=f（m+1），
要证明f（x）在（1，+∞）上为增函数，只需m＞1即可．
设x₂=mn+1，x₁=n+1，其中m，n＞0，m＞1，
则x₂-x₁=n（m-1）＞0，故x₂＞x₁，
则f（x₂）-f（x₁）=f（mn+1）-f（n+1）=f（m+1），m＞1，m+1＞2，
所以f（m+1）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）在（1，+∞）上为增函数；
（Ⅲ）∵由f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，及f（4）=1
∴令m=n=3，有f（4）+f（4）=f（10），即f（10）=2．
令m=9，n=

1

9

，则f（9+1）+f（

1

9

+1）=f（9×

1

9

+1）=f（2），
故f（

10

9

）=f（2）-f（10）=-2，
由奇偶性得f（-

10

9

）=-2，
则f（x）＜2的解集是(-∞，-

10

9

)∪(1，10)．
于是问题等价于是否存在实数k使得sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k＜-

10

9

或1＜sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k＜10对任意的θ∈[0，π]恒成立．
令t=sinθ+cosθ，t∈[-1，

2

]，问题等价于
t²-（k-4）t+k-1＜-

10

9

或1＜t²-（k-4）t+k-1＜10对t∈[-1，

2

]恒成立．
令g（t）=t²-（k-4）t+k-1，则g（t）＜-

10

9

对t∈[-1，

2

]恒成立的
必要条件是

g(-1)＜- 10 9 g( 2 )＜- 10 9

，即

2k-3+ 1 9 ＜0 - 2 k+k+1+ 1 9 ＜0

解得

k＜ 13 9 k＞8+ 19 9 +4 2 + 19 2 9

，此时无解；
同理1＜g（t）＜10恒成立的必要条件是

1＜g(-1)＜10 1＜g( 2 )＜10

，即

1＜2k-4＜10 1＜(1- 2 )k+4 2 +1＜10

解得

5 2 ＜k＜7 -1-5 2 ＜k＜8+4 2

，即

5

2

＜k＜7；
当

5

2

＜k＜7时，g（t）=t²-（k-4）t+k-1的对称轴t0=

k-4

2

∈(-

3

4

，

3

2

)．
下面分两种情况讨论：
（1）当4+2

2

≤k＜7时，对称轴t0=

k-4

2

∈[

2

，

3

2

)在区间[-1，

2

]的右侧，
此时g（t）=t²-（k-4）t+k-1在区间[-1，

2

]上单调递减，
1＜g（t）＜10恒成立等价于

1＜g(-1)＜10 1＜g( 2 )＜10

恒成立，
故当4+2

2

≤k＜7时，1＜g（t）＜10恒成立；
（2）当

5

2

＜k＜4+2

2

时，对称轴t0=

k-4

2

∈(-

3

4

，

2

)在区间[-1，

2

]内，
此时g（t）=t²-（k-4）t+k-1在区间[-1，

2

]上先单调递减后单调递增，
1＜g（t）＜10恒成立还需g(t)min=g(

k-4

2

)＞1，即

(k-4)2

4

-(k-4)

k-4

2

+k-1＞1，
化简为k²-12k+24＜0，解得6-2

3

＜k＜6+2

3

，
从而

6-2 3 ＜k＜6+2 3 5 2 ＜k＜4+2 2

，解得6-2

3

＜k＜4+2

2

；
综上所述，存在k∈(6-2

3

，7)，使得f（sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈[0，π]恒成立．

点评：本题考查了抽象函数的运算，单调性，以及函数恒成立问题，需要较强的分析、计算能力，属于难题．