Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一段图象如图所示，
（1）求函数的解析式．
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）直接由函数图象求得A，T，由周期公式求得ω，利用五点作图的第二点求φ，则答案可求．
（2）由已知可求sin（2x+$\frac{3π}{4}$）＞$\frac{1}{2}$，利用正弦函数的图象可得2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{3π}{4}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，进而解得不等式f（x）＞1的解集．

解答 （本题满分13分）
解析：（1）解：由图可知，A=2，T=2（$\frac{3π}{8}$+$\frac{π}{8}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2．
由五点作图的第二点可知，2×（-$\frac{π}{8}$）+φ=$\frac{π}{2}$．
解得：φ=$\frac{3π}{4}$．
∴函数解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{3π}{4}$）…（6分）
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{3π}{4}$）＞1．
∴sin（2x+$\frac{3π}{4}$）＞$\frac{1}{2}$．
∴2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{3π}{4}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{7π}{24}$＜x＜kπ+$\frac{π}{24}$，k∈Z，
∴不等式f（x）＞1的解集是：（kπ-$\frac{7π}{24}$，kπ+$\frac{π}{24}$），k∈Z…（13分）

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，关键是由五点作图的某一点求φ，是中档题．