Question

8．设奇函数f（x）的定义域为R，且对任意的非零实数m，均有f（$\frac{1}{m}$）=$\frac{1}{f（m）}$成立，当x∈（1，+∞）时，f（x）=x²-ax+2，若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围为[2，+∞）．

Answer 1

分析 由f（x）是定义域在R上的奇函数，得f（0）=0，再由奇函数的图象关于原点中心对称，可得要使f（x）=x²-ax+2的值域为R，只要当x∈（1，+∞）时，f（x）=x²-ax+2的最小值小于等于1即可，然后转化为关于a的不等式组求得答案．

解答 解：∵f（x）是定义域在R上的奇函数，∴f（0）=0，
对任意的非零实数m，均有f（$\frac{1}{m}$）=$\frac{1}{f（m）}$成立，且当x∈（1，+∞）时，f（x）=x²-ax+2，
∴要使f（x）=x²-ax+2的值域为R，只要当x∈（1，+∞）时，f（x）=x²-ax+2的最小值小于等于1即可．
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{f（1）≤1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}＞1}\\{\frac{4×2-{a}^{2}}{4}≤1}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3-a≤1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{{a}^{2}≥4}\end{array}\right.$，解得a≥2．
∴实数a的取值范围为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题考查函数的值域，考查了函数奇偶性的性质，考查数学转化思想方法，是中档题．