Question

设a＞1，则当y=a^x与y=log_ax两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna=

-1

．

Answer 1

分析：利用同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，得到两个函数只有一个公共点的等价条件．

解答：解：因为y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，所以要使两个函数图象有且只有一个公共点时，则它们y=x是两个函数的共同的切线．
设两个函数相切时的切点坐标为M（x₀，y₀），由于曲线y=a^x在M处的切线斜率为1，
所以ax0=x0，且函数y=a^x的导数为y′=f′(x0)=ax0lna=1，
即

ax0=x0 ax0lna=1

，所以

ax0=x0 1 lna =x0

，
则a

1

lna

=

1

lna

，两边取对数得ln?a

1

ln?a

=ln?

1

ln?a

=1，
所以解得e=

1

lna

，所以lna=

1

e

，即a=e

1

e

，此时x₀=e．
所以lnlna═ln（

1

e

）=-1．
故答案为：-1．

点评：本题主要考查指数函数和对数函数互为反函数，以及利用导数求曲线切线问题，综合性较强，难度较大．