Question

18．已知函数f（x）=|x-a|+|x-3|，a∈R．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；
（2）若不等式f（x）＜2的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1的值代入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）根据绝对值的几何意义求出f（x）的最小值，结合f（x）＜2的解集为空集，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{4-2x，（x＜1）}\\{2，（1≤x＜3）}\\{2x-4，（x≥3）}\end{array}\right.$，
所以不等式f（x）≤4的解集为$\left\{\begin{array}{l}{x＜4}\\{4-2x≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x＜3}\\{2≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{2x-4≤4}\end{array}\right.$，
即0≤x≤4，
故不等式f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤4}．
（2）因为f（x）=|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|3-a|，
因为不等式f（x）＜2的解集为空集，
则|3-a|≥2，解之3-a≤-2或3-a≥2，
即a≥5或a≤1，
故实数a的取值范围是{a|a≤1或a≥5}．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义以及分类讨论思想，是一道中档题．