Question

13．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，试利用正、余弦定理与和角公式两种方法证明△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 法一：直接利用正弦定理以及余弦定理推出边的关系，即可判断三角形的形状．
法二：由三角形的知识和和差角的三角函数公式可得sin（B-C）=0，可得B=C，可得三角形为等腰三角形．

解答 证明：法一：∵sinA=2sinBcosC，
∴利用正弦定理可得：a=2bcosC，
由余弦定理可得：a=2b$•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
可得：b=c，
∴三角形是等腰三角形．
法二：∵在△ABC中sinA=2sinBcosC，
∴sin[π-（B+C）]=2sinBcosC，
∴sin（B+C）=2sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴sinBcosC-cosBsinC=0，
∴sin（B-C）=0，
∴B=C，即三角形为等腰三角形．

点评 本题考查三角形形状的判定，涉及和差角的三角函数公式，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．