Question

15．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m-n为定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率求得a=2b，由a+b=3，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m-n化简整理即可得到2m-n为定值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a=2b，①
a+b=3，②，
解得：a=2，b=1，
则椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为y=n（x-2）（n≠0，n≠±$\frac{1}{2}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=n（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（4n²+1）x²-16n²x+16n²-4=0．
则x_P+2=$\frac{16{n}^{2}}{4{n}^{2}+1}$，x_P=$\frac{8{n}^{2}-2}{4{n}^{2}+1}$．
则y_P=n（x_P-2）=$\frac{-4n}{4{n}^{2}+1}$．
所以P（$\frac{8{n}^{2}-2}{4{n}^{2}+1}$，$\frac{-4n}{4{n}^{2}+1}$）．
又直线AD的方程为y=$\frac{1}{2}$x+1．
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=n（x-2）}\end{array}\right.$，解得M（$\frac{4n+2}{2n-1}$，$\frac{4n}{2n-1}$）．
由三点D（0，1），P（$\frac{8{n}^{2}-2}{4{n}^{2}+1}$，$\frac{-4n}{4{n}^{2}+1}$）．N（x，0）共线，
得$\frac{-\frac{4n}{4{n}^{2}+1}-1}{\frac{8{n}^{2}-2}{4{n}^{2}+1}-0}$=$\frac{0-1}{x-0}$，所以N（$\frac{4n-2}{2n+1}$，0）．
∴MN的斜率为m=$\frac{\frac{4n}{2n-1}-0}{\frac{4n+2}{2n-1}-\frac{4n-2}{2n+1}}$=$\frac{4n（2n+1）}{2（2n+1）^{2}-2（2n-1）^{2}}$=$\frac{2n+1}{4}$．
则2m-n=$\frac{2n+1}{2}$-n=$\frac{1}{2}$．
∴2m-n为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中档题．