Question

13．如图，四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5．
（1）求BD的长；
（2）求△ABD的外接圆半径R；
（3）求AC的长．

Answer 1

分析 由题意可得，四边形ABCD为圆内接四边形．
（1）直接运用余弦定理求得BD的长；
（2）由正弦定理求得△ABD的外接圆半径R；
（3）在△ABC中，由正弦定理得AC的长．

解答 解：如图，
由∠DAB=60°，∠BCD=120°，可知四边形ABCD为圆内接四边形，
（1）在△ABD中，由∠DAB=60°，AD=2，AB=5，利用余弦定理得：
BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠DAB=${5}^{2}+{2}^{2}-2×5×2×\frac{1}{2}=19$．
∴$BD=\sqrt{19}$；
（2）由正弦定理得：$\frac{BD}{sin60°}=2R$，则△ABD的外接圆半径R=$\frac{\sqrt{57}}{3}$；
（3）在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{AC}{sin30°}=2R=\frac{2\sqrt{57}}{3}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{57}}{3}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，关键是四点共圆的判断，是中档题．