Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{5}$，且对于任意正整数m，n都有a_n+m=a_n•a_m．若S_n＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由a_m+n=a_m•a_n，令m等于1化简后，由等比数列的定义确定此数列是等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S_n，利用极限思想和条件求出满足条件a的范围，再求出a的最小值．

解答 解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，
令m=1，得到a_n+1=a₁•a_n，所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a₁=$\frac{1}{5}$，
则数列{a_n}是首项、公比都为$\frac{1}{5}$的等比数列，
所以S_n=$\frac{\frac{1}{5}[1-（\frac{1}{5}）^{n}]}{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{5}^{n}}）$＜$\frac{1}{4}$，
因为S_n＜a对任意n∈N*恒成立，所以a≥$\frac{1}{4}$，则实数a的最小值是$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等比数列关系的确定，等比数列的前n项和的公式，以及不等式恒成立问题，是一道综合题．