Question

若f(x)=

1

4

x3-

3

4

x在（m，10-m²）上有最小值，则实数m的取值范围是

（-3，1）

．

Answer 1

分析：由f(x)=

1

4

x3-

3

4

x，知f（x）的定义域是R，f′(x)=

3

4

x2-

3

4

，令f′(x)=

3

4

x2-

3

4

=0，得x₁=-1，x₂=1，列表讨论知f（x）在x=1处有极小值．由f(x)=

1

4

x3-

3

4

x在（m，10-m²）上有最小值，知

m＜1 10-m2＞1

，由此能求出m的范围．

解答：解：∵f(x)=

1

4

x3-

3

4

x，
∴f（x）的定义域是R，f′(x)=

3

4

x2-

3

4

，
令f′(x)=

3

4

x2-

3

4

=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∵若f(x)=

1

4

x3-

3

4

x在（m，10-m²）上有最小值，
∴

m＜1 10-m2＞1

且f（m）≥f（1），
解得-2≤m＜1．
故答案为：[-2，1）．

点评：本题考查利用导数求函数最值的应用，具体涉及到导数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．