Question

19．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是①③④
①异面直线AB与CD所成角为90°；
②直线AB与平面BCD所成角为60°；
③直线EF∥平面ACD     
④平面AFD⊥平面BCD．

Answer 1

分析 在①中，由AB⊥平面CDE，知异面直线AB与CD所成角为90°；在②中，直线AB与平面BCD所成角为arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$；在③中由EF∥AC，知直线EF∥平面ACD；在④中，由BC⊥平面ADF，知平面AFD⊥平面BCD．

解答 解：正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，
在①中，∵正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，
∴CE⊥AB，DE⊥AB，
又CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE，
∵CD?平面CDE，
∴异面直线AB与CD所成角为90°，故①正确；
在②中，过A作AO⊥平面BCD，交DF=O，连结BO，
则∠ABO是直线AB与平面BCD所成角，
设正四面体ABCD的棱长为2，
则DF=$\sqrt{3}$，BO=$\frac{2DF}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
cos$∠ABO=\frac{BO}{AB}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线AB与平面BCD所成角为arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故②错误；
在③中，∵点E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
∵EF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴直线EF∥平面ACD，故③正确；
在④中，由AF⊥BC，DF⊥BC，
又AF∩DF=F，∴BC⊥平面ADF，
∵BC?平面BCD，∴平面AFD⊥平面BCD，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．