Question

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，PC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：AP⊥平面PBC
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）要证DM∥平面APC，只需证明MD∥AP（因为AP?面APC）即可．
（2）证明AP⊥PB，AP⊥PC，即可证明AP⊥平面PBC；
（3）因为BC=4，AB=20，求出三棱锥的高，即可求三棱锥D-BCM的体积．

解答： （1）证明：由已知得，MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP  …（1分）
因为MD?平面APC，AP?平面APC，
所以MD∥平面APC  …（3分）
（2）证明：因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，
所以MD⊥PB，…（4分）
因为MD∥AP，所以AP⊥PB，…（5分）
又因为AP⊥PC，且PB∩PC=P
所以AP⊥平面PBC，…（8分）
（3）解：由（2）得AP⊥平面PBC，且MD∥AP，
所以MD⊥平面PBC
所以MD是三棱锥M-DBC的高，且在直角三角形PAB中∠PAB=60°，
所以MD=5

3

，…（10分）
又在直角三角形PCB中，由PB=10，BC=4，可得PC=2

21

．…（11分）
于是S_△BCD=

1

2

S_△BCP=2

21

，…（12分）
所以V_D-BCM=V_M-DBC=

1

3

Sh=10

7

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面的平行，三棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，是中档题．