Question

20．已知数列{a_n}（n∈N^*）是公差不为0的等差数列，a₁=1，且$\frac{1}{a_2}$，$\frac{1}{a_4}$，$\frac{1}{a_8}$成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知列出关于工程师了公差方程求出公差；得到通项公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，将通项公式代入，利用裂项求和证明即可．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d．
因为$\frac{1}{a_2}，\frac{1}{a_4}，\frac{1}{a_8}$成等比数列，所以${（\frac{1}{a_4}）^2}=\frac{1}{a_2}•\frac{1}{a_8}$．
即${（\frac{1}{{{a_1}+3d}}）^2}=\frac{1}{{{a_1}+d}}•\frac{1}{{{a_1}+7d}}$．
化简得${（{a_1}+3d）^2}=（{a_1}+d）•（{a_1}+7d）$，即d²=a₁d．
又a₁=1，且d≠0，解得d=1．
所以有a_n=a₁+（n-1）d=n．                    …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n•（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
所以${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}＜1$．
因此，T_n＜1．                                  …（13分）

点评 本题考查了等差数列和等比数列性质、通项公式求法以及裂项求和的方法；求出通项公式正确裂项求和是关键．