Question

14．已知函数f（x）=2cos（$\frac{π}{2}$-x）cos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，由此求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（Ⅰ）  f（x）=2cos（$\frac{π}{2}$-x）cos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$） …（3分）
T=$\frac{2π}{2}$=π …（4分）
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可得单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）    …（7分）
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]…..（9分）
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）_max=1．
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$m即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）min=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴f（x）值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]…..（12分）

点评 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，正确化简函数的关键．