题目内容

已知正实数a，b满足a+2b=1，则 $数学公式$ 的最小值为

A.
$数学公式$
B.
4
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：由条件利用基本不等式可得 ab∈（0， $\text{[math]}$ ]，再由 $\text{[math]}$ =1-4ab+ $\text{[math]}$ ，且1-4ab+ $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，求得它的最小值．
解答：∵已知正实数a，b满足a+2b=1，∴1=a+2b≥2 $\text{[math]}$ ，当且仅当a=2b时，取等号．解得ab≤ $\text{[math]}$ ，即 ab∈（0， $\text{[math]}$ ]．
再由（a+2b）²=a²+4b²+4ab=1，故 $\text{[math]}$ =1-4ab+ $\text{[math]}$ ．
把ab当做自变量，则1-4ab+ $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，故当ab= $\text{[math]}$ 时，1-4ab+ $\text{[math]}$ 取得最小值为 1- $\text{[math]}$ +8= $\text{[math]}$ ，
故选D．
点评：本题主要考查基本不等式以及函数的单调性的应用，属于基础题．