Question

20．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），且关于x的方程f（x）=2x有两实数根1和4，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数h（x）=f（x）-（2t-3）x（t∈R）在区间x∈[0，1]上的最小值是$\frac{7}{2}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）二次函数f（x）的图象过点（0，4），设二次函数为f（x）=ax²+bx+4，根据根与系数的关系即可求出，
（2）h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-2tx+4，h（x）的对称轴为x=t，根据对称轴，分类讨论，根据函数的单调性即可求出答案．

解答 解：（1）二次函数f（x）的图象过点（0，4），
设二次函数为f（x）=ax²+bx+4，
∵关于x的方程f（x）=2x有两实数根1和4，
∴ax²+（b-2）x+4=0的两实数根1和4，
∴1+4=-$\frac{b-2}{a}$，1×4=$\frac{4}{a}$，
解得a=1，b=-3，
∴f（x）=x²-3x+4，
（2）h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-3x+4-（2t-3）x=x²-2tx+4，
∴h（x）的对称轴为x=t，
当t≤0时，函数h（x）在[0，1]为增函数，
∴h（x）_min=h（0）=4≠$\frac{7}{2}$，
当t≥1时，函数h（x）在[0，1]为减函数，
∴h（x）_min=h（1）=1-2t+4=$\frac{7}{2}$，
解得t=$\frac{3}{4}$（舍去），
当0＜t＜1时，
h（x）_min=h（t）=t²-2t²+4=$\frac{7}{2}$，
解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查了二次函数的解析式的求法和二次函数的性质，关键是分类讨论，属于中档题．