Question

(20)在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|,n=3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”.

    (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；

    (Ⅱ)若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+ a_n+1 + a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

   （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

Answer 1

（Ⅰ）解：a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1

（答案不惟一）

（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，所以自第20项开始，该数列是a₂₀=3，a₂₁=0，a₂₂=3，a₂₃=3，a₂₄=0，a₂₅=3，a₂₆=3，a₂₇=0，….

即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n→∞时，a_n的极限不存在.

当n≥20时，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6,所以.

（Ⅲ）证明：根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项.证明如下：

        假设{a_n}中没有零项，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，所以对于任意的n，都有a_n≥1，从而

 

        当a_n-1＞a_n-2时，a_n=a _n-1-a _n-2≤a_n-1-1（n≥3）；

 

        当a_n-1＜a_n-2时，a_n=a _n-2-a _n-1≤a_n-2-1（n≥3）,

 

        即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1.

 

        令c_n=

 

        则0＜c_n≤c_n-1-1(n=2,3,4…).

 

        由于c₁是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c_k＜0，这与c_n＞0（n=1，2，3……）矛盾.从而{a_n}必有零项.

        若第一次出现的零项为第n项，记a_n-1=A（A≠0），则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即

       

         所以绝对差数列{a_n}中有无穷多个为零的项.