Question

5．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，BC∥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，M，N分别是SB，SC的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求三棱锥S-BCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由M，N分别为SB，SC的中点，得四边形ADNM是平行四边形，即可证得AM∥平面SCD；
（Ⅱ）由侧棱SA⊥底面ABCD，利用锥体的体积公式，可求三棱锥S-BCD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵M，N分别为SB，SC的中点，
∴MN∥BC，且MN=$\frac{1}{2}$BC，
又∵AD∥BC，且AD=$\frac{1}{2}$BC，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形ADNM是平行四边形，∴AM∥ND，
又∵AM?平面SCD，ND?平面SCD，
∴AM∥平面SCD．
解：（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，
∴三棱锥S-BCD的高为SA，
∵S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=3，S_△ABD=$\frac{1}{2}AD•AB$=1
∴S_△BCD=S_梯形ABCD-S_△ABD=2．
∴V_{三棱锥S-BCD}=$\frac{1}{3}$S_△BCD•SA=$\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查四棱锥的体积，考查线面平行的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．