Question

8．y=2sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）-$\frac{2}{9}x$+$\frac{8}{9}$在x∈R上有零点，记作x₁，x₂，…x_n，求x₁+x₂+…+x_n=（　　）

• A． 16
• B． 12
• C． 20
• D． -32

Answer 1

分析 根据函数y有零点，令y=0，即2sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{9}x$-$\frac{8}{9}$，转化为函数f（x）=sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）与y=$\frac{1}{9}x$-$\frac{4}{9}$图象的交点问题．利用图象即可求解．

解答 解：由题意，函数y有零点，令y=0，即2sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{9}x$-$\frac{8}{9}$，
转化为函数f（x）=sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）与g（x）=$\frac{1}{9}x$-$\frac{4}{9}$图象的交点问题．
函数f（x）的周期T=12．

从图象可以看出，函数f（x）与g（x）只有3个交点．
即函数y=2sin（$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}$）-$\frac{2}{9}x$+$\frac{8}{9}$只有3个零点，
∴x₁=-5，x₂=4，x₃=13，
那么：x₁+x₂+x₃=12．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的零点问题，转化两个函数图象的交点问题，考查了转化思想，作图能力，属于中档题．