Question

9．已知双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与圆x²+y²=c²（c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）交A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\sqrt{1+\sqrt{2}}$x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
• D． y=±$\sqrt{\sqrt{2}-1}$x

Answer 1

分析 联立双曲线方程和圆方程，求得交点，由于四边形ABCD是正方形，则有x²=y²，即为c²-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$=$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，运用双曲线的a，b，c的关系和渐近线方程，即可得到结论．

解答 解：联立双曲线方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1和圆x²+y²=c²，
解得，x²=b²-$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，y²=c²-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，
由于四边形ABCD是正方形，
则有x²=y²，即为c²-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$=$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，
即c⁴=2b⁴，即c²=a²+b²=$\sqrt{2}$b²，
即有a=$\sqrt{\sqrt{2}-1}$b，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{ax}{b}$，
即为y=±$\sqrt{\sqrt{2}-1}$x．
故选：D．

点评 本题考查双曲线方程和性质，考查联立双曲线方程和圆的方程求解交点，考查渐近线方程的求法，属于中档题．