Question

7．已知函数f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．
（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
∴x≠kπ+$\frac{π}{2}$，即函数的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}，
则f（x）=4tanxcosx•（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=4sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$（1-cos2x）-$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
则函数的周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，即函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
当k=0时，增区间为[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴此时x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z，
当k=-1时，减区间为[-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴此时x∈[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{12}$]，
即在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，函数的减区间为∈[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{12}$]，增区间为[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．