Question

4．已知点A（-3，-2）在抛物线C：x²=2py的准线上，过点A的直线与抛物线C在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意先求出准线方程x=-2，再求出p，从而得到抛物线方程，设出切点B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）（m＜0），对抛物线方程求导，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得m，即有B的坐标，运用两点求斜率公式即可得到所求直线BF的斜率．

解答 解：∵点A（3，-2）在抛物线C：x²=2py的准线上，
即准线方程为：y=-2，
∴p＞0，则-$\frac{p}{2}$=-2，即p=4，
∴抛物线C：x²=8y，即$y=\frac{1}{8}{x}^{2}$．
设B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）（m＜0），
由y=$\frac{1}{8}{x}^{2}$的导数为y′=$\frac{1}{4}x$，
可得切线的斜率为k=$\frac{m}{4}$，
即有$\frac{m}{4}=\frac{\frac{{m}^{2}}{8}+2}{m+3}$，化为m²+6m-16=0，
解得m=-8，或m=2（舍去），
可得B（-8，8），又F（0，2），
则直线BF的斜率是$\frac{8-2}{-8}=-\frac{3}{4}$．
故答案为：$-\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是中档题．