Question

5．设常数a＞0，λ∈R，函数f（x）=x²（x-a）-λ（x+a）³，若函数f（x）恰有两个零点，求λ的值．

Answer 1

分析 当λ=1时，f（x）=x²（x-a）-（x+a）³=-a（4x²+3ax+a²），利用二次函数的性质判断；当λ≠1时，则必有一个零点是极值点；设该零点为x₀，从而f（x₀）=f′（x₀）=0，从而解得x₀，再代入f（x₀）=0即可求出λ．

解答 解：（1）当λ=1时，f（x）=x²（x-a）-（x+a）³
=-a（4x²+3ax+a²）；
∵-a＜0，△=（3a）²-16a²=-7a²＜0，
∴f（x）＜0恒成立；故f（x）没有零点；
（2）当λ≠1时，∵函数f（x）恰有两个零点；
则必有一个零点为f（x）的极值点；
不妨设该零点为x₀，
则f（x₀）=x₀²（x₀-a）-λ（x₀+a）³=0，
即x₀²（x₀-a）=λ（x₀+a）³，①
又f′（x）=3x²-2ax-3λ（x+a）²
故f′（x₀）=3x₀²-2ax₀-3λ（x₀+a）²=0，②
由①②化简可得：x₀=0或x₀=$\frac{a}{2}$；
经检验，当x₀=0时成立，此时λ=0；
当x₀=$\frac{a}{2}$时也成立，此时λ=-$\frac{1}{27}$；
故λ=0或λ=-$\frac{1}{27}$．

点评 本题考查了函数零点的个数判断，分类讨论的思想，函数的性质应用，属于中档题．