Question

对于函数f（x）=ax³，（a≠0）有以下说法：

①x=0是f（x）的极值点．②当a＜0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．

③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．其中说法正确的序号是　　．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的极值．

专题：

导数的综合应用．

分析：

①利用函数的极值点处左右两侧导数值异号，即可判断出x=0不是f（x）的极值点；

②由于a＜0时，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）上恒成立，故得f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；

③f（x）在（1，f（1））处的切线：y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），联立y=ax³，（a≠0）判断解的个数，即可判断③的正误．

解答：

解：由于函数f（x）=ax³，（a≠0），则f′（x）=3ax²

①由于f′（x）=3ax²恒为正或恒为负，故x=0不是f（x）的极值点，故①错误；

②由于a＜0时，f′（x）=3ax²＜0在（﹣∞，+∞）上恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，故②正确；

③由于f′（x）=3ax²，则f′（1）=3

故f（x）在（1，f（1））处的切线方程：y﹣a=3（x﹣1），即：y=3x+a﹣3，

联立y=ax³，（a≠0）得到ax³=3x+a﹣3，整理得（x﹣1）（ax²+ax+a﹣3）=0

若△=a²﹣4a（a﹣3）≥0，则y=3x+a﹣3与y=ax³（a≠0）必有两个以上的交点；

若△=a²﹣4a（a﹣3）＜0，则y=3x+a﹣3与y=ax³（a≠0）只有一个交点（1，f（1））．故③错误．

故答案为 ②．

点评：

本题主要考查了函数的导数在研究函数性质上的应用，属于基础题．